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By J. McDonald, N. Weiss

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Hilfssatz. Sei f : [a, b] → Rn stetig differenzierbar. Dann gibt es zu jedem H > 0 ein G > 0, so dass f (t) − f (W) − f (t) t −W H f¨ur alle t, W ∈ [a, b] mit 0 < |t − W| G. I. Differentialrechnung im Rn 46 Beweis. a) Wir behandeln zun¨achst den Fall n = 1. Die Ableitung f : [a, b] → R ist nach Voraussetzung stetig, also sogar gleichm¨aßig stetig. Zu H > 0 gibt es also ein G > 0, so dass | f (t) − f (s)| H f¨ur alle t, s mit |t − s| Sei nun t, W ∈ [a, b] mit 0 < |t − W| zwischen t und W, so dass G.

Dann ist V := Vx1 ∩Vx2 ∩ . . ∩Vxs S  also V ⊂ X K. Da b ∈ eine offene Umgebung von b mit V ∩ si=1 Uxi = , X K beliebig war, ist X K Umgebung jedes seiner Punkte, also offen. ¨ b) Sei (Ui )i∈I eine offene Uberdeckung von A. Die Menge U := X und es gilt [ A ist offen Ui ∪ U = X ⊃ K. i∈I Da K kompakt ist, gibt es endlich viele Indizes i1 , . , ik ∈ I mit Ui1 ∪ . . ∪Uik ∪U ⊃ K. Daraus folgt Ui1 ∪ . . d. Satz 5 (Heine-Borel). Eine Teilmenge A ⊂ Rn ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschr¨ankt ist.

Wir setzen G := min(G(x1 )/2, . , G(xk )/2). Sind jetzt x, x ∈ X zwei beliebige Punkte mit x, x {1, . , k} mit x ∈ BG(x j )/2 (x j ), < G, so gibt es ein j ∈ und deshalb x ∈ BG(x j ) (x j ). d. Bemerkung. Der Satz, dass jede stetige Funktion f : I → R auf einem kompakten Intervall I ⊂ R gleichm¨aßig stetig ist (An. 1, § 11, Satz 4), ist ein Spezialfall von Satz 10. 1. Man zeige, dass die Vereinigung von endlich vielen kompakten Teilmengen eines Hausdorff-Raumes wieder kompakt ist. 2. Sei (X , d) ein metrischer Raum mit der trivialen Metrik, vgl.

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